The exit from a metastable state : concentration of the exit point distribution on the low energy saddle points Article - Juin 2020

Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre, Dorian Le Peutrec, Boris Nectoux

Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre, Dorian Le Peutrec, Boris Nectoux, « The exit from a metastable state : concentration of the exit point distribution on the low energy saddle points  », Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, juin 2020, pp. 242-306. ISSN 0021-7824. 〈https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0021782419301199〉

We consider the first exit point distribution from a bounded domain $\Omega$ of the stochastic process $(X_t)_t\ge 0$ solution to the overdamped Langevin dynamics $$d X_t = -\nabla f(X_t) d t + \sqrth \ d B_t$$ starting from the quasi-stationary distribution in $\Omega$. In the small temperature regime ($h\to 0$) and under rather general assumptions on $f$ (in particular, $f$ may have several critical points in $\Omega$), it is proven that the support of the distribution of the first exit point concentrates on some points realizing the minimum of $f$ on $\partial \Omega$. The proof relies on tools to study tunnelling effects in semi-classical analysis. Extensions of the results to more general initial distributions than the quasi-stationary distribution are also presented.

Dans ce travail, nous étudions la distribution du point de sortie d’un domaine borné $\Omega$ pour le processus stochastique $(X_t)_t\ge 0$ solution de la dynamique de Langevin suramortie $$d X_t = -\nabla f(X_t) d t + \sqrth \ d B_t$$ initialement distribué suivant la distribution quasi-stationnaire dans $\Omega$. Dans la limite basse température $h\to 0$ et sous des hypothèses générales sur la fonction $f$ ($f$ pouvant notamment avoir plusieurs points critiques dans $\Omega$), nous montrons que la distribution du lieu de sortie se concentre sur certains points réalisant le minimum de $f$ sur $\partial \Omega$. Nous calculons aussi les probabilités relatives de sortir autour de chacun de ces points. Nos preuves reposent sur des outils issus de l’analyse semi-classique.

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